Что же такое решение задачи?

 Хорошо известны выдвинутые Д. Пойа этапы решения задач:

1) осознание постановки задачи;
2) составление плана решения (гипотеза решения);
3) осуществление составленного плана;
4) исследование полученного решения.

Все четыре этапа решения задачи одинаково важны. В начале знакомства с задачами особенно важен первый этап – осознание постановки задачи, ее смысла. В это понятие мы включаем:

– умение отличить текстовую задачу от других заданий;
– умение выделить основные части задачи;
– умение соотнести их взаимное расположение между собой;
– всесторонний анализ ситуации, представленной в задаче;
– выделение математических отношений, в ней заложенных.

Особое внимание именно к этим аспектам диктуется тем, что главным в умении решать задачи является полноценная аналитическая деятельность, выявляющая все необходимые для решения связи. Процесс же решения задач, с которыми сталкиваются дети в начале обучения, не дает реальной возможности им даже заметить процесс анализа ситуации, настолько быстро он протекает в силу их простоты на житейском уровне. Задания же, которые концентрируют внимание учеников на исследовании предлагаемых текстов, а не требуют сразу выполнения решения задачи, помогают осмыслить эти связи как таковые.

Второй и третий этапы решения задачи понятны  последний этап – исследование решения, оно обязательно должно включать следующие позиции:

– соотнесение решения со связями, выявленными при анализе текста задачи;
– является ли найденное решение верным, а если нет, какого рода допущена ошибка – логическая или вычислительная;
– является ли найденное верное решение единственным или нужно найти другие верные решения;
– при каких данных задача имеет решение, а при каких нет;
– существуют ли такие данные, при использовании которых решение задачи становится проще или сложнее.

Структура работы с задачами, которая предлагается в занковской системе.

1 класс

Подготовительный этап. Овладение навыком чтения. Формирование необходимых мыслительных операций. Овладение умением участвовать в коллективной деятельности.

2 класс

Начальный этап. Обучение детей работать с текстом задачи. Знакомство с терминами: задача, условие и вопрос задачи, данные и искомое задачи, простая и составная задачи, обратная задача, краткая запись задачи.

3 класс

Центральный этап. Обучение сравнению задач, сходных по сюжету, но различных по математическому содержанию; преобразованию задач, приводящему к их упрощению.

4 класс

Заключительный этап. Обучение сравнению задач, различных по сюжету, но одинаковых по математическому содержанию (выделение обобщенных типов задач); преобразованию задач, приводящему к их усложнению.

Здесь указаны новые направления работы с задачами, но необходимо иметь в виду, что на каждом этапе продолжается работа и с направлениями, начатыми на предыдущих этапах.

Основная проблема начального этапа – научить детей работать с текстом задачи.

Необходимость существования этих условий требует значительной отсрочки начала основной работы с задачами.

Если овладение навыком чтения в основном происходит на уроках обучения грамоте и в гораздо меньшей степени на других уроках, то овладение необходимыми мыслительными операциями и навыками коллективной деятельности в равной степени происходит при выполнении каждого задания, представленного в учебниках системы для 1-го класса независимо от предмета, изучению которого они посвящены. Не является исключением и учебник математики, в котором это формирование происходит на математическом материале, когда дети активно добывают знания, рассуждают, спорят, выдвигают и обосновывают свои пути решения возникающих проблем, сравнивают свое решение с другими путями и их обоснованиями.

Вместе с тем в учебнике присутствуют и специальные задания, целенаправленно готовящие детей к специфике работы с задачами.

Виды таких заданий:

– восстановление развития сюжета по серии рисунков;

 Анализ любой задачи начинается с осознания последовательности отраженных в ее тексте событий. Поэтому важно знать, могут ли первоклассники установить связи между этапами сюжета и логически верно изложить события.

– составление различных рассказов математического содержания к одному сюжетному рисунку;

Составление разных рассказов математического содержания к одному сюжетному рисунку. Основная цель выполнения этих заданий – сформировать у учеников умение рассматривать одну и ту же ситуацию с принципиально разных позиций для предстоящей работы с задачами.

– завершение серии рисунков до полного восстановления сюжета.

Третий вид заданий по существу является прямым подходом к понятию задачи, так как ставит учеников в ситуацию наглядного изображения двух данных и поиска (выбора) соответствующего им искомого.

Основные проблемы начального этапа работы с задачами заключаются в следующем:

– выявление признаков задачи и осознание термина «задача»;
– овладение умением работать с задачей;
– знакомство с простыми задачами и их решение;
– постепенный переход к составным задачам;
– овладение умением аналитического разбора задачи и создания модели такого разбора.

Решение простых прямых задач с точки зрения продвижения детей в развитии и формирования истинного умения решать задачи дает крайне незначительный эффект, поэтому важно установить роль таких задач в курсе математики по системе Л.В. Занкова, выявить ситуации, в которых использование таких задач желательно или даже необходимо. Рассмотрим основные варианты таких ситуаций.

Прямые простые задачи используются:

1) для первоначального осознания смысла вновь вводимой математической операции или для более глубокого проникновения в содержание уже знакомой операции;

2) в случаях когда основное внимание детей должно быть сосредоточено не на решении задачи, а на других связанных с ней проблемах, например, при знакомстве с частями задачи;

3) для индивидуальной работы с теми учениками, для которых более сложные задачи представляют непреодолимую трудность. Умелое и своевременное включение таких задач в канву урока позволит и этим детям вносить свой вклад в общую работу, сохранять уверенность в своих силах и постепенно продвигаться вперед.

Обучение решению задач,

выраженных в косвенной форме

(1 класс)

Изучение данной темы представляет известную трудность, так как некоторые дети, даже после многократной тренировки, не могут установить математические отношения между числами в таких предложениях, как это: «В парке 20 берез, это на 6 больше, чем кленов». Для облегчения этой задачи и предлагаются следующие задания.

Первый этап

     Во время изучения темы «Сравнение» необходимо начинать учить детей построению «обратных» предложений: «Если Саша выше Коли, то Коля ниже Саши», «Если удав длиннее крокодила , то крокодил короче удава» и т. д.
     Особой областью изучения являются отношения «больше - меньше». В данный период продолжается обучение построению обратных предложений: «Если у Пети больше карандашей, чем у Димы, то у Димы меньше карандашей, чем у Пети» и усложняется характер заданий. Например, вставить слова «больше» или «меньше» в предложение «Если у Иры ... кукол, чем у Веры, то у Веры ... кукол, чем у Иры».    Вставить слова «больше», «меньше» и необходимые имена в предложение «Если у Пети ... самолетиков, чем у ... , то у Саши ... самолетиков, чем у ... ».

Второй этап

     Когда отношения «больше», «меньше» охватывают числовой материал, обратные предложения несколько усложняются: «Если у Коли на 2 машинки больше, чем у Вовы, то у Вовы на 2 машинки меньше, чем у Коли». Соответственно расширяется круг заданий по восстановлению предложений. «Если у Веры на 2 открытки ... , чем у Иры, то у Иры на 2 открытки ... , чем у Веры».
     «Если у Пети на ... марок меньше, чем у Вани, то у Вани на ... марок больше, чем у Пети», «Если у Лены на ... шаров ..., чем у Кати, то у Кати на ... шаров .., ,чем у Лены». «Если у ... на 3 робота ..., чем у Вити, то у ... на 3 робота ..., чем у Коли».

Третий этап

     Непосредственное знакомство с задачами, выраженными в косвенной форме, начинается после того, как дети научились решать задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и на разностное сравнение чисел. Во время обучения решению задач на разностное сравнение чисел необходимо научить детей к каждой задаче задавать два вопроса ( один со словом «больше», другой со словом «меньше») и соответственно давать два полных ответа.
     На одном из последующих уроков детям предлагается задача; «В классе 10 мальчиков. Их на 3 меньше, чем девочек. Сколько девочек в классе?» и к ней два готовых решения: 10-3=7, 10+3=13. Затем идет работа по выбору верного решения и обоснованию пути, который привел к неверному решению.
    На следующем уроке детям раздаются тексты двух задач: «У Тани есть синие и красные шары. Синих шаров - 10. Красных на 2 шара больше, чем синих. Сколько красных шаров у Тани?» и «У Тани есть синие и красные шары. Синих шаров - 10. Их на 2 шара больше, чем красных. Сколько красных шаров у Тани?" Детям нужно подчеркнуть различия в текстах задач. После обсуждения данной работы, учитель открывает на доске краткие записи данных задач и просит детей определить и обосновать, какая краткая запись относится к первой задаче, а какая ко второй. Если в процессе всей предыдущей работы еще не возник вопрос - одинаково или различно будет решение этих задач, то учитель задает его после анализа кратких записей.
     На следующем уроке можно выполнить такое задание - выбрать вопрос к условию задачи: "Юля нашла 8 грибов. Она нашла на 3 гриба меньше, чем Лена". Вопросы:
а) Сколько грибов нашла Юля?
б) На сколько грибов меньше нашла Юля, чем Лена?
в) Сколько грибов нашла Лена?
г) На сколько грибов больше нашла Лена, чем Юля?
     Необходимо обосновать выбор вопроса и несоответствие других вопросов данному условию ("спрашиваться должно про неизвестное"). Дети могут предложить свои вопросы к данному условию. Необходимо все варианты проанализировать.

Четвертый этап

     На этом этапе предлагаются задания по восстановлению условий задач, изменению числовых данных, преобразованию условий задач. Вот возможные задания:
     Вставить слово "больше" или "меньше" в условие задачи, чтобы она решалась так: 12-4. Задачи:
а) На елке 12 шаров, а хлопушек на 4 штуки ... . Сколько хлопушек на елке?
б) На елке 12 шаров. Это на 4 штуки ..., чем хлопушек. Сколько хлопушек на елке?
     Следующее задание предусматривает изменение числового данного задачи так, чтобы решение стало невозможным. Предлагается задача: "В саду созрело 15 яблок, это на 13 штук больше, чем слив. Сколько слив созрело в саду?".
     Дети делают краткую запись и решают задачу. Затем учитель просит детей закрыть глаза, а сам в краткой записи делает изменение - вместо числа 15 пишет число 12. Детям предлагается сформулировать условие задачи с новым данным и решить ее самостоятельно. Всегда найдутся дети, которые скажут, что новая задача не решается.
     В следующей задаче требуется преобразовать условие задачи, не нарушая смысла отношений между данными числами. "Кукла стоит 15 рублей. Она на 3 рубля дешевле, чем машинка. Сколько стоит машинка?" Детям предлагается решить задачу, а затем сформулировать условие задачи по-другому, чтобы решение при этом не изменилось.
     Далее задания усложняются. После решения задачи "Миша за книгу заплатил 20 рублей, это на 3 рубля больше, чем за журнал. Сколько стоил журнал?" детям предлагается изменить условие так, чтобы задача решалась сложением: 20+3. Дети могут предложить разные способы преобразования условия. Например, слово "больше" в условии заменить на слово "меньше" или фразу "на 3 рубля больше" отнести к стоимости журнала. Кто-то из детей может предложить и такой вариант:
"Миша за книгу заплатил 20 рублей, а за журнал 3 рубля. Сколько всего денег истратил Миша?". Тогда учитель просит напомнить задание и выясняется, что изменить надо было только условие, а не вопрос задачи.

Пятый этап

     Классификация задач. Детям предлагаются тексты трех-четырех задач в прямой и косвенной форме и задание - указать, какие задачи решаются сложением, а какие вычитанием и обосновать свой ответ. Затем можно предложить задание - выбрать среди данных задач такие, которые решаются так же, как только что решенная.
     На одном из последующих уроков детям предлагаются тексты трех задач.   Возможно таких:
а) Маша нашла 20 грибов, а Леша на 5 грибов больше, чем Маша. Сколько грибов нашел Леша?
б) Маша нашла 20 орехов, это на 5 орехов больше, чем нашел Леша. Сколько орехов нашел Леша?
в) Люда нашла 20 орехов, а Никита на 5 орехов больше, чем Люда. Сколько орехов нашел Никита?
     Затем идет задание - какая задача отличается от двух других и по каким признакам? Среди множества разных вариантов, возможно, прозвучит и главный - отличие второй задачи в ее решении, и оно вызвано тем, что слово "больше" относится к известному числу, а значит неизвестное число меньше.

Шестой этап

     Составление задач. Более простой вариант, когда по готовым кратким записям составляются задачи. Более сложный вариант, когда предлагается данное "б" и задано отношение "на 2 меньше" и необходимо придумать задачу, чтобы она решалась так 6+2 или так 6-2.

Седьмой этап

     Переход к задачам в два действия, включающим простую задачу в косвенной форме.
     Этот переход осуществляется после того, как дети научатся решать задачи в два действия всех других видов. Тогда им можно предложить сравнить тексты двух таких задач:
а) Ваня в первый день прочитал 30 страниц книги, а во второй день на 11 страниц больше, чем в первый. Сколько страниц Ваня прочитал за два дня?
б) Оля в первый день прочитала 30 страниц книги. Это на 11 страниц больше, чем во второй день. Сколько страниц Оля прочитала за два дня?
     Для некоторых детей краткая запись является сложной для восприятия. Тогда нужно показать им, что условие можно сделать более понятным, если представить его в виде схемы. Имеется в виду, что дети уже знакомы со схемами при изучении других тем. Тогда в работу необходимо включить еще один этап - задания на установление соответствия между содержанием задачи и схемой. Можно предложить такие задания:
а) Определить, соответствует ли схема данной задаче?
Как нужно изменить схему, чтобы она соответствовала задаче? Как нужно изменить задачу, чтобы данная схема соответствовала ей?
б) Выбрать задачу, которая соответствует данной схеме.
в) Выбрать схему, которая соответствует данной задаче.